没有出生证不可以变更抚养权。变更抚养权要满足相关条件：

《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》第十六条的规定：一方要求变更子女抚养关系有下列情形之一的，应予支持：

1、与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的。

2、与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的。

3、十周岁以上未成年子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力的。

4、有其他正当理由需要变更的。

有上述法定情形之一，变更子女抚养关系的请求一般可以得到法院的支持。反之，则会有较大的诉讼风险。