驾驶员肇事逃逸保释的方式是向机关申请取保候审，由公安机关对当事人的取保候审申请进行审查，如果同意取保候审的话，会责令犯罪嫌疑人交纳保证金，然后执行取保候审。

【法律依据】

根据《刑事诉讼法》第六十八条，人民法院、人民检察院和公安机关决定对犯罪嫌疑人、被告人取保候审，应当责令犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金。