交通司法鉴定申请程序是：

1、司法鉴定机构接受司法机关、仲裁机构的司法鉴定委托；

2、对于符合受理条件的，能够即时决定受理的，司法鉴定机构应当与委托人签订司法鉴定委托受理合同；

3、鉴定机构受理案件后，应当指派具有社会专业司法鉴定资格的人员承担鉴定工作；

4、对鉴定结论有异议需进行复核鉴定的，其他资质较高的司法鉴定机构可以接受委托，进行复核鉴定；

5、司法鉴定人完成社会专业司法鉴定工作后，应当出具司法鉴定文书。

【法律依据】

根据《司法鉴定程序通则》第四条，司法鉴定机构和司法鉴定人进行司法鉴定活动，应当遵守法律、法规、规章，遵守职业道德和执业纪律，尊重科学，遵守技术操作规范。