关于侮辱他人人格的行为构成犯罪的应当承担怎样的刑事责任的问题，依据我国刑法相关规定，“以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。”因此，行为构成侮辱罪或者诽谤罪的，可能被判处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。另外，侮辱罪、诽谤罪属于亲告罪，一般情况下，需要被害人告诉才理。

法律依据：我国《刑法》相关规定， 第二百四十六条 【侮辱罪】【诽谤罪】以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。前款罪，告诉的才处理，但是严重危害社会秩序和国家利益的除外。通过信息网络实施第一款规定的行为，被害人向人民法院告诉，但提供证据确有困难的，人民法院可以要求公安机关提供协助。