按规定，法院提请死刑复核的程序应该如下进行：

1、中院判处死刑的第一审案件，被告人没上诉、检察院没抗诉的，在上诉、抗诉期满后会在十日内报请高院复核。高院同意判处死刑的，就会在作出裁定后十日内报请最高人民法院核准。要不同意的，会依照第二审程序提审或者发回重新审判。

2、中院判处死刑的第一审案件，被告人上诉或者检察院抗诉，高院裁定维持的，会在作出裁定后十日内报请最高人民法院核准;

3、高院判处死刑的第一审案件，被告人没去上诉、检察院也没抗诉的，需要在上诉、抗诉期满后十日内报请最高人民法院核准。

【法律依据】

《刑事诉讼法》第二百五十条最高人民法院复核死刑案件，应当作出核准或者不核准死刑的裁定。对于不核准死刑的，最高人民法院可以发回重新审判或者予以改判。