申请医疗事故的方式是：

1、首先向医疗单位的医务处提出医疗事故鉴定的书面申请，由医疗事故处理小组进行讨论并出具书面结论;

2、医疗事故或事件鉴定申请，限于事故或事件不良后果发生后一年之内提出，逾期不予受理;

3、省医疗事物技术鉴定委员会的鉴定为最终鉴定，如对结论不服，可以直接向当地人民法院起诉。

根据《医疗事故处理条例》第三条，处理医疗事故，应当遵循公开、公平、公正、及时、便民的原则，坚持实事求是的科学态度，做到事实清楚、定性准确、责任明确、处理恰当。