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分块矩阵求逆矩阵的方法

更新时间: 2021-07-04 00:00:00

逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C,假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。

矩阵A可逆,有AA-1=I。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的.逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。

性质:

①同结构的分块上(下)三角形矩阵的和(差)、积(若乘法运算能进行)仍是同结构的分块矩阵。

②数乘分块上(下)三角形矩阵也是分块上(下)三角形矩阵。

③分块上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆;若可逆,则的逆阵也是分块上(下)三角形矩阵。

④分块上(下)三角形矩阵对应的行列式。

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