公民申诉法律援助的方式是：

1、填写法律援助申请表，由义务机关所在地、义务人住所地或者被请求人住所地的法律援助机构依法受理；

2、法律援助机构应当自受理申请之日起7个工作日内进行审查，并作出是否给予法律援助的决定；

3、法律援助机构应当自作出给予法律援助决定之日起7个工作日内指派律师事务所；

4、法律援助人员应当自法律援助案件结案之日起30日内向法律援助机构提交立卷材料。

根据《法律援助条例》第四条，国务院司法行政部门监督管理全国的法律援助工作。县级以上地方各级人民政府司法行政部门监督管理本行政区域的法律援助工作。