1、三维柯西不等式：(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2

2、证明：

左边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]

右边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)

根据均值不等式，有：

(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)

(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)

(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)

所以左边>=右边，当且仅当ae=bd，af=cd，bf=ce时，等式成立

证毕。

3、柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。