单位车肇事司机全责应该由所在单位承担赔偿责任。

单位员工根据单位要求，驾驶车辆外出办理公事的，属于履行职务行为，而根据侵权责任法第三十四条的规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。

在实际的赔偿时，如果司机负全责的，应由保险公司在交强险内先全额赔偿对方的损失，超过部分才可所在单位赔偿，也可以要求保险公司在第三者责任险内直接进行赔偿。

【法律依据】

《侵权责任法》第三十四条：用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。

劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任;劳务派遣单位有过错的，承担相应的补充责任。